Ahogyan azt az általános-középiskolákban mindannyian megtanultuk, a “számolás”, ill. az “írás” igénye “egyidős az emberiséggel”; a nomád, vadászaton és gyűjtögetésen alapuló életmódot felváltó földművelés, ill. állattenyésztés szükségessé tette a jószág számontartását, fontossá váltak az időjáráshoz kapcsolódó naptári megfigyelések rögzítése, az idő múlásának nyilvántartása. A röghözkötöttség indukálta csillagászati-, illetve az évszakokkal kapcsolatos naptári megfigyelések az információ rögzítésére és egyre bonyolultabb számítások elvégzésére késztették eleinket. E közkedvelt gondolatmenet számunkra fontos tanulsága, hogy a számítógépek történetének tiszta forrásait a csillagászati-naptári megfigyelésekre szolgáló építményekben (melyek a divatos Stonhenge-en kívül minden nagyobb kultûrában fellelhetőek: Kína, Mezopotámia, Egyiptom stb.), a számábrázolás kezdetleges formáiban, illetve az erre szolgáló egyszerû szerkezetek környékén keresendôk.
A kezünk tíz ujjának segítségével történő számolás (számábrázolás) talán valóban egyidős az emberiséggel, a “digitális” megjelölés is közvetve az ujjak latin nevéből (digitus) ered (az angol digit=számjegy szó mindenképpen). Amint szaporodni kezdett a megszámolnivaló, s átlépte a végtagjainkon rendelkezésre álló ujj-szimbólumok dimenzióját, kialakult az átváltásos rendszerû számábrázolás, a tizes, tizenkettes, illetve a hatvanas számrendszer.
Additív számrendszerek
A legegyszerűbb számrendszer az egyes vagy unáris számrendszer, amelyben minden természetes szám megfelelő számú szimbólummal kerül megjelenítésre. Ha a megjelenítésre a | szimbólumot választjuk, akkor például a hetes számot a következőképpen jelenítheto meg: |||||||. Az unáris rendszer jól használható kisebb számok esetén. (Az egyes számrendszer a számítástechnika néhány területén, pl. az Elias gamma kódolásnál, valamint az adattömörítési algoritmusok esetében ma is gyakran használt számrendszer.)
Az unáris ábrázolás rövidebbé tételéhez gyakran használnak speciális szimbólumokat, amelyek különleges jelentéssel bírnak (jó példa erre a római számírás). Ezek a speciális szimbólumok gyakran a 10 különböző hatványait (10,100,1000, stb.) jelentik. Így például, ha | jelenti az 1-et, a – jelenti a 10-et, és + jelenti a 100-at, akkor a számok tömörített formában a következőképpen ábrázolhatók:
a 304 szám +++ |||| a 123 szám pedig + — ||| formában jelenik meg.
Egyiptomban is hasonló rendszerű számrendszert használtak, a római számrendszer pedig ennek a számábrázolási rendszernek egy módosítása.
Helyiértékes számábrázolás
A gépi számolás szempontjából kulcsfontosságú a helyiértékes számábrázolás megjelenése.
A ma világszerte elterjedt arab számrendszer (mely valójában Indiai eredetű) a 10-et alapszámnak tekintő helyiértékes rendszer, mely csupán a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyeket használja. A felsorolás egyben a számok un. alaki értéke: a számjegy tényleges értéke (helyi értéke) attól függ, hogy a szám melyik poziciójában áll, mert ekkor az alaki érték még megszorzódik a 10 alapszám adott pozició szerinti hatványával. A 304 = 3×100 + 0×10 + 4. Meg kell jegyezni, hogy a zéró, amelynek használatára az előzőekben említett rendszerekben nem volt szükség, itt alapvetően fontos, mivel lehetővé teszi egy hatvány nagyságrend kihagyását, ill “átugrását” .
Az aritmetikai műveletek sokkal egyszerűbbek a helyiértékes rendszerekben, mint az additív számrendszerekben, ugyanis az additív rendszerek elméletileg végtelen számú különböző szimbólumot kell, hogy használjanak a számok ábrázolásához, míg a helyiértékes rendszerben ehhez elegendő a számrendszer alapszámával egyenlő szimbólum. (a 10-es számrendszerben a 10 az alapszám és 0-9-ig 10 féle számjegy van, a 2-es számrendszerben viszont csak 2, a 0 és az 1.).
(Vö. Borges Funes, az emlékező című novellájának főhőse ” Elmondta, hogy 1886 körül kidolgozott egy eredeti számrendszert, és alig pár nap alatt túljutott a huszonnégyezren. Nem írta le, mert amit egyszer elgondolt, az nem homályosult el többé a fejében. Azt hiszem, zavarta, hogy az arab “harminchárom” jelölésére egyetlen szó és egyetlen jel helyett két jelre és két szóra van szükség, s elsősorban ez a gondolat vezette. Azután a többi számra is alkalmazta ezt az oktalan elvet. Hétezer-tizenhárom helyett például azt mondta, hogy Máximo Pérez; hétezer-tizennégy helyett azt, hogy A vasút; más számok helyett, hogy Luis Melián Lafinur, Olimar, kén, treff, a bálna, a gáz, a kávéskanna, Napóleon, Agustín de Vedia. Ötszáz helyett azt mondta: kilenc. Minden szónak külön jele volt, valami védjegyféléje; utóbb már egyre bonyolultabbak lettek… Próbáltam megmagyarázni neki, hogy az összefüggéstelen szavak szeszélyes sora homlokegyenest ellenkezik minden számrendszerrel. Mondtam neki, hogy ha azt mondjuk, 365, ez három százast, hat tízest, öt egyest jelent; ennek az elvnek nyoma sincs az olyan “számokban”, mint A néger Timoteo vagy megruházás. Funes nem értette meg, vagy nem akarta megérteni.
Locke a XVII. században leírt (és elutasított) egy képtelen nyelvet, amelyben minden egyes dolognak, minden kőnek, minden madárnak és minden ágnak külön neve volna; Funes is foglalkozott néhányszor egy hasonló nyelv tervével, de elvetette, mert túlságosan általánosnak, túlságosan pontatlannak találta. Valóban nemcsak minden erdő minden fájának minden levelére emlékezett, hanem ezeknek minden képére is, ahányszor csak észlelte vagy elképzelte őket. Elhatározta, hogy addigi élete minden napját külön-külön, mintegy hetvenezer emlékre korlátozza, s azután megszámozza őket. De letett a tervéről két elgondolás miatt: tudta, hogy a feladat végtelen, és tudta, hogy haszontalan. Úgy vélte, hogy halála órájáig még gyerekkori emlékeinek teljes osztályozását se tudja befejezni.
Az a két terv, amit említettem (a természetes számsor végtelen szótára és valamennyi emlékkép fölösleges gondolati katalógusa), értelmetlen, de van bennük bizonyos dadogó nagyszerűség. Megsejtetik vagy felvillantják Funes szédületes világát. Ne feledjük el, hogy Ireneo szinte képtelen volt általános, plátói eszmék felfogására. Nemcsak azt értette meg nehezen, hogy a kutya általános megjelölés annyi eltérő, különböző méretű és különböző alakú egyedet foglal magába; az is zavarta, hogy a három óra tizennégy perckor (oldalnézetből) látott kutyának ugyanaz a neve, mint a negyed négykor (elölnézetből) látott kutyának.
Ld. még BORGES: A JOHN WILKINS-FÉLE ANALITIKUS NYELV. in: Jorge Luis Borges: Az örökkévalóság története, esszék, Európa, Budapest 1999.
A számrendszerek használatának vázlatos története
A kőkorszaki kultúrákban, ideértve az ősi amerikai indián csoportokat, számolásra fából vagy kövekből faragott pálcikákat használtak. A pálcikákat lovak, szolgák, személyes szolgáltatások adás-vételénél, illetve szerencsejátékoknál használták.
A legelső írott emlékeket a pálcikák “ábrázolásáról”(azaz a számszerű információ rögzítéséről) kiégetett agyagtáblák formájában a Sumér birodalom romjai között találták A sumérok 60-as alapú számrendszert használtak. Ezt a rendszer vették át az ősi mediterrán nemzetek (görögök, rómaiak és egyiptomiak). A rendszer maradványait könnyen felismerhetjük a mai idő- (órák, percek) és a szögmérésben (szögpercek).
Kínában a katonák és a gazdálkodók már a maradékokat is használták a számításaikban. A csapatok számának, illetve a rizs mennyiségének méréséhez a pálcikák egyedi kombinációi szolgáltak. Megkönnyítve a szorzás műveletét, kényelmesebbé tette a számításokat a mai digitális jelfeldolgozás egyik alapja, a moduláris aritmentika.
A Római Birodalomban a számok ábrázolására a görögöktől átvett rendszert használtak, de egyes számokra saját jeleket vezettek be. A római számrendszer használata a helyiértékes rendszer bevezetése előtt az 1500-as évekig általános volt.
A közép-amerikai maja kultúra egy 20 vagy 18 alapú számrendszert használt, ismerték már a helyiértékeket és a nulla fogalmát. Nagyon pontos asztronómiai számításokat végeztek, különösen az év hosszával és a Vénusz pályájával kapcsolatban.
Az Inka Birodalom kiterjedt gazdaságirányítási rendszert működtetett, ahol pálcikák helyett színes fonalakra kötött csomókat használtak, ezt nevezik kipunak. A csomók és színek használata a spanyol hódítók a 16. századi megjelenésével feledésbe merült, ennek ellenére egy kipuhoz hasonló, egyszerű jelzésrendszer még ma is használatos az Andok területén.
Indiából, ahol már ismerték a modern helyiértékes rendszert, valószínűleg egy indiába küldött követ által, egy 773 körül vásárolt asztronómiai táblázat közvetítésével jutott el az általunk is használt tíz számjegyes számábrázolási rendszer az arabokhoz. A iszlám fejedelmek és Afrika, valamint az India közötti élénk kereskedelem juttatta el az indiaiak által használt rendszert Kairóba. Az arab matematikusok kibővítették az általuk addig használt rendszert a decimális hatványokkal, amit Al-Kvárizmi a 9. században már írásban rögzített.
Abu Abdullah Mohamed bin Muza al-Khvárizmi (780.?-845.?), perzsa tudós nevéhez kötődik a matematikai algoritmusok fogalma (ami miatt néhányan a számítástechnika nagyapjának nevezik), maga az algoritmus szó is egyik művének félrefordított latin címéből ered. Neki köszönhető a helyiértéken alapuló, a nullát is tartalmazó indiai számjelölési rendszer elterjedése.
(Al-Kvárizmi egyébként rendszerezte és saját felfedezéseivel korrigálta Ptolemaiosz földrajzi kutatásait. Ő irányította egy, az akkor ismert világról készülő térkép munkálatait, 70 térképész közös alkotását. Munkássága latin fordításokon keresztül vált ismertté Európában, és kitörölhetetlen nyomot hagyott a nyugati tudomány fejlodésében Algebráról szóló könyve ismertette meg a kontinenssel ezt a tudományt, és az egyetemek alapvető tankönyve maradt egész a 16. századig. Mechanikai eszközökkel (óra, asztrolábium, napóra) is foglalkozott írásaiban.)
A 2-es alapú bináris rendszert már a 17. században Gottfried Wilhelm Leibniz(fogunk még vele találkozni) javasolta a gépesített számolás fejlesztésére, aki Kínában hallott róla, de általános használata a 20. században, a számítógépek megjelenésével terjedt el.
A dolgok megszámlálásán túlmenő egyszerű matematikai alapműveletek leegyszerűsítésére (illetve a számolási hibák kiküszöbölésére) szolgáló legegyszerűbb és legősibb eszköz az abakusz.
Elképzelhető, hogy a helyiértékes számábrázolási rendszert széles körben az abakusz használatán keresztül a kínaiak terjesztették el. Az elsőírásos emlékek a pálcikákról, illetve az abakusz kínai használatáról 400 körüliek. A kínai matematikusok a nullát csak 932 körül írták le.
A manapság gyermekeink játékszereként ismert golyós számolótábla eredetileg sínekbe helyezett apró kövecskékből állt, melyeknek neve latinul calculus. Az egyszerű szerkezetet a XVI. századig mint a legfőbb, talán egyetlen számolóeszközt használták Európában, s mivel az összeadás-kivonás mellett a vele való szorzás/osztás már komoly műveletsort jelentett, s így tudatos analitikus gondolkodásmódot követellt, a kialakuló európai egyetemeken a további évszázadokban is fontos tárgy volt az abakusz magasszintű használatának oktatása.
Mindennél beszédesebben jelzi az abakusz diadalútját az európai kultúrában, hogy Leonardo da Pisa, Fibonacci (1170?-1240) 1202-ben megjelent Liber Abaci című művének(voltaképpen fordítás) köszönhető a hindu-arab számok megismerése és elterjedése. Egyébként a mű valójában az arab számokkal való számolás érdekében az abakusz ellenpropagandája jegyében íródott.
1580 körül Francois Vieta (1580-1603) jogász az egyenletleírás általános módszereit keresve az algebrai egyenleteket szimbólumokkal próbálja felírni, s bevezeti a betûk használatát a matematikában az ismeretlenek és az együtthatók jelölésére.
John Napier Murchiston(1550-1617) 1614-ben megjelentetett “Canonis mirifici logarithmorum descriptio” (A csodálatos logaritmustáblázat leírása) címû könyvében közzéteszi a trigonometrikus függvények logaritmusainak táblázatát. (A logaritmus gondolata már Arkhimédésznél megjelenik, s mások is készítenek logaritmustáblázatokat Napier-el szinkronban: Stevin, Burgi.) Henry Brigs-szel (1561-1630) közösen kidolgoz egy tizes alapû logaritmusrendszert, melyet Briggs publikál 1617-ben (a tizedesvesszô használata az aritmetikai mûveletekben innen származik).
Az általa feltalált ún. “ Napier-csontok” segítségével gépesítette a szorzás-osztás, sőt a négyzetgyökvonás műveleteit.
A következő ábrák a szorzás műveletét mutatják be:
46785399×7=327497793
René Descartes (1596-1650) nevéhez szokás kötni az analitikus geometria megszületését, s bár ez nehezen védhető állítás, az kétségtelen, hogy a koordinátageometria az 1637-ben megjelent “Discours de la Méthode” (értekezés a módszerről) c. mű “Géometrie” c. függelékének köszönhetően kezd gyors ütemben fejlődni.
A logarlécet 1620-1630 között találták fel, miután John Napier publikálta a logaritmusról szóló alapvető művét. Az oxfordi egyetemen Edmund Gunter feltalált egy eszközt, mely egy logaritmikus skálából és mérőeszközökből állt és amellyel szorozni és osztani lehetett. 1630-ban a Cambridge-i William Oughtred készített egy körlogarlécet és 1632-ben egyesítette találmányát Gunter eszközével, ezzel létrejött a mai értelemben vett logarléc.
A logarléc működésének alapelve, hogy a számok szorzatát a számok logaritmusának összegével, a számok hányadosát a számok logaritmusának különbségével helyettesítjük.
A logarléc alapja két, egymáson elcsúsztatható logaritmikus skála. Ezt egészítik ki további skálák és egy átlátszó mozgatható ablak, amelyen hajszálvonalak segítik a skálákon található értékek pontos beállítását és leolvasását.
Ahhoz, hogy két számot összeszorozzunk, a nyelv (mozgatható skála) kezdő értékét a fix skálán a szorzandó értékéhez kell mozgatni és ezt követően a nyelven megkeresni a szorzót, és a vele szemben a fix skálán található érték lesz a szorzat értéke.
A szorzat értékének meghatározásához nem elegendő a skála leolvasása, hanem a logarléc használójának fejben utánaszámolva, meg kell állapítania a szorzat nagyságrendjét is. Az ábra példáján 1,6 x 4,5 szorzatához ugyanúgy kell beállítani a skálát, mint pl. 160 x 45 vagy 0,16 x 4,5-höz, a felhasználónak folyamatosan utána kell számolnia fejben a helyes eredmény meghatározásához.